By P. F. Hsieh, A. W. J. Stoddart

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5 Der ebene Spannungszustand 23 2 I1   1 1   2 2 11   22  Sp (S ), I 2   1 1  2 2   21 2  11  22  12  det S , entnommen werden. Der ersten Invarianten entspricht die Summe der Hauptdiagonalglieder (Spur) des ebenen Spannungstensors und die zweite Invariante ist dessen Determinante. Führen wir die orthogonale Drehmatrix in der normierten Form cos   sin  Q()     sin  cos  ein, dann erhalten wir die Matrix S () des gedrehten Spannungszustandes zu S ()  QT()  S  Q() und umgekehrt S  Q  S  QT .

Von den verbleibenden Spannungen jk (j,k = 1,2) wird angenommen, dass sie sich über die Scheibendicke konstant verhalten. Sie hängen dann nicht mehr von der Koordinate x3 ab, und es gilt:  jk x 3 0 (j, k = 1, 2). Abb. 5 Der ebene Spannungszustand  S  S T   11   21 21 12  .  22  An einem Scheibenelement der (x1,x2)-Ebene treten dann nur noch die in Abb. 11 skizzierten Spannungen auf. Der Satz von den zugeordneten Schubspannungen liefert für den ebenen Fall  21  12 , womit noch drei unbekannte Funktionen 11 ( x 1 , x 2 ),  22 ( x 1 , x 2 ), 12 ( x 1 , x 2 ) zu bestimmen wären.

Mit R  F  U -1 erhalten wir: R T  R  U -T  F T  F  U -1  U -1  U 2  U -1  1  R T  R 1 . Der Rechengang der Polarzerlegung für den in einer Orthonormalbasis gegeben Deformationsgradienten F stellt sich dann rezeptartig wie folgt dar: 1. 2. 3. Berechnung der symmetrischen Tensoren C  F T  F und B  F  F T . Berechnung der Eigenwerte j von C und B aus ihrer gemeinsamen charakteristischen Gleichung. Die Wurzel der Eigenwerte von C und B sind die Eigenwerte von U und V. Berechnung der Eigenvektoren n und n von C und B.

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