By Jürgen Appell

Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand derer guy die Bedeutung mathematischer Sätze besonders intestine erkennen kann.

In den ersten drei Kapiteln werden die wesentlichen Ergebnisse über stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen zusammengestellt.

Das vierte Kapitel geht etwas über den üblichen Analysisstoff hinaus und ist "merkwürdigen" Teilmengen der reellen Achse und zugehörigen Funktionen gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünften und sechsten Kapitel behandelt.

Zum Verständnis des Buches genügt die Kenntnis einiger Grundbegriffe der Elementarmathematik (Mengen, Aussagen, Relationen, Funktionen, Induktion), wie sie in vielen Einführungskursen im ersten Semester vermittelt werden. Über die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein weiteres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels. Es ist daher auch sehr intestine als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

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46) x→−∞ dass es zu jedem ω > 0 ein η > 0 gibt derart, dass aus x > η stets f (x) > ω bzw. aus x < −η stets f (x) < −ω folgt. 44) natürlich auch einseitige Grenzwerte in x0 betrachten. Wir fassen im nächsten Beispiel das (einseitige) Grenzwertverhalten dreier bekannter Funktionen in einem Punkt x0 ∈ R zusammen. 39. Es gelten die uneigentlichen Grenzwertbeziehungen lim x→0+ 1 =∞, x lim log x = −∞ , x→0+ lim x→π/2− tan x = ∞ . Das asymptotische Verhalten der angegebenen Funktionen bei x0 = 0 bzw.

42) folgt hieraus 2m+1 f (x0 + hm ) − f (x0 ) = [fn (x0 + hm ) − fn (x0 )] n=1 2m+1 m [fn (x0 + hm ) − fn (x0 )] + = n=1 [fn (x0 + hm ) − fn (x0 )] n=m+1 ≥ −mhm + (m + 1)hm = hm > 0 . Entsprechend kann man zeigen, dass f (x0 − hm ) − f (x0 ) ≥ −mhm + (m + 1)hm = hm > 0 gilt. Dies zeigt, dass f in x0 weder monoton wachsen noch monoton fallen kann, und damit ist die Behauptung bewiesen. ♥ Der Vollständigkeit halber bringen wir noch eine Definition, auf die wir z. B. im vierten Kapitel noch häufiger zurückgreifen werden.

34 1 Stetige Funktionen bedeuten, dass es zu jedem ω > 0 ein δ > 0 gibt derart, dass aus |x − x0 | < δ stets f (x) > ω bzw. f (x) < −ω folgt. 45) lim f (x) = L , x→∞ x→−∞ dass es zu jedem ε > 0 ein η > 0 gibt derart, dass aus x > η bzw. x < −η stets |f (x) − L| < ε folgt. 46) x→−∞ dass es zu jedem ω > 0 ein η > 0 gibt derart, dass aus x > η stets f (x) > ω bzw. aus x < −η stets f (x) < −ω folgt. 44) natürlich auch einseitige Grenzwerte in x0 betrachten. Wir fassen im nächsten Beispiel das (einseitige) Grenzwertverhalten dreier bekannter Funktionen in einem Punkt x0 ∈ R zusammen.

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