By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par l. a. concept de limite d'une suite ou d'une série numérique et son program à los angeles représentation décimale des nombres, en poursuivant avec los angeles proposal de fonction proceed et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par l. a. définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un element de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.

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Example text

Pour chaque x ∈ E, les ensembles {a < x | ]a, x] ⊆ E} et {b > x | [x, b[ ⊆ E} sont non vides. Soient ax = inf{a < x | ]a, x] ⊆ E} ≥ −∞ et bx = sup{b > x | [x, b[ ⊆ E} ≤ +∞. Alors ]ax , bx [ ⊆ E — en effet, si, par exemple, −∞ < ax < y < x, on a y ∈ ](ax + y)/2, x] ⊆ E. Observons maintenant que si deux tels intervalles ]ax , bx [ et ]ay , by [ ne sont pas disjoints, ils sont confondus : ax ≤ ay < by ≤ bx implique ax = ay et bx = by et, de mˆeme, ax ≤ ay < bx ≤ by implique ]ax , by [ ⊆ E donc aussi ax = ay et bx = by .

D´emonstration. Soit x0 ∈ f −1 ( ]C, D[ ) = {x ∈ ]a, b[ | f (x) ∈ ]C, D[ }. Posons = inf{D − f (x0 ), f (x0 ) − C}. Soit δ > 0 tel que |x − x0 | < δ et x ∈ ]a, b[ impliquent |f (x) − f (x0 )| < . Alors C ≤ f (x0 ) − < f (x) < f (x0 ) + ≤ D et ]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆ f −1 ( ]C, D[ ). D. On applique souvent le th´eor`eme pr´ec´edent de la fa¸con suivante : si f : ]a, b[ → R est continue et si f est strictement positive en x0 , il existe un intervalle ouvert centr´e en x0 dans lequel f reste strictement positive.

Exemple. 22 = 3, 142857 142857 142857 · · · 7 Exemple. Pour chaque a ∈ N, +∞ k=1 +∞ 1 ∈Q, 10ak 1 ∈ / Q. ak2 10 k=1 Tout intervalle ouvert ]a, b[ contient un nombre rationnel et un nombre irrationnel. Soient en effet a+b a+b = + 2 2 47 +∞ k=1 dk 10k le d´eveloppement d´ecimal de son centre et N ∈ N tel que 1 b−a < . N 10 2 Alors a+b + 2 N k=1 dk + 10k est irrationnel et a+b + 2 N k=1 +∞ 1 ∈ ]a, b[ 10k2 k=N +1 dk ∈ ]a, b[ 10k est rationnel. Tout nombre r´eel est donc la limite d’une suite de nombres rationnels et aussi la limite d’une suite de nombres irrationnels.

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